Числовые ряды и их суммы. Свойства числовых рядов

Числовые ряды, их суммы, сходимость, примеры

Числовые ряды и их суммы. Свойства числовых рядов

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие о числовом ряде

Первое знакомство с числовыми рядами у наших читателей состоялось в средней школе при изучении арифметической прогрессии и геометрической прогрессии. Из этих уроков Вы узнали, что для задания этих последовательностей необходимо определить закон нахождения каждого члена последовательности, обычно записываемый в виде формулы.

Если u1, u2, u3, …, un, … – бесконечная последовательность чисел, то формально записанное выражение

u1 + u2 + u3 + … + un + …              (1)

называется бесконечным числовым рядом (или просто числовым рядом). Многоточие в конце (иногда шутят, что в нём-то и заключена суть ряда) указывает, что выражение (1) не имеет последнего слагаемого, за каждым слагаемым всегда стоит следующее. Таким образом, числовой ряд есть “бесконечная” сумма чисел.

Короче (с символом “сигма”) числовой ряд (1) можно записать в виде

где индексы внизу и вверху символа суммы означают, что нужно взять сумму чисел un, когда n принимает целочисленные значения от 1 до ∞.

Числа u1, u2, u3, …, un, … называются членами числового ряда, а член ряда, стоящий на n-м месте от начала, – его общим членом.

Примерами числовых рядов могут служить:

            (2)

                            (3)

                                     (4)

Задать числовой ряд – это значит указать правило, закон образования его членов, по которому можно найти любой его член (ещё раз вспомните школьные уроки об арифметической и геометрической прогрессиях). Чаще всего числовой ряд задаётся формулой общего члена как функция от натурального числа n. Например, если , то тем самым определён следующий числовой ряд:

                                (5)

если то получим числовой ряд

                                (6)

Если в дальнейшем будем говорить, что дан числовой ряд, то будем подразумевать, что задан его общий член.

Пример 1. Записать первые пять членов числового ряда, если дана формула его общего члена:

.

Решение. Подставляем в формулу вместо n последовательно числа 1, 2, 3, 4, 5. Получаем:

Пример 2. Записать формулу общего члена числового ряда, если даны пять его первых членов:

Решение. Ищем закономерность образования членов ряда. Нетрудно заметить, что знаменатель является числом 3 в некоторой степени.

Для первого члена ряда степень равна нулю, то есть 1 – 1, для второго члена степень равна 1, то есть 2 – 1, для пятого – 4, то есть 5 – 1. Следовательно, степень числа три равна n – 1.

В свою очередь, в числителе число всегда на 2 меньше 3n. Следовательно, формула общего члена ряда:

При сложении конечного числа слагаемых всегда получается определённый числовой результат, вычислить же сумму бесконечного числа слагаемых не может ни человек, ни компьюьтер, поскольку процесс сложения членов числового ряда (по самому определению) никогда не кончается.

Это означает, что выражение (1) является формальным, ведь сумма бесконечного числа слагаемых не определена. Но тем не менее в этом выражении поставлен знак суммирования и подразумевается, что члены ряда как-то складываются.

Сумма любого конечного числа слагаемых будет найдена, если их складывать последовательно по одному. Это приводит к мысли поставить в соответствие числовому ряду некоторое число и назвать его суммой числового ряда.

С этой целью вводят понятие частичной суммы ряда.

Приближенные суммы числового ряда (1)

называются частичными суммами числового ряда.

Сумма n первых членов числового ряда называется n-й частичной суммой:

                             (7)

Частичные суммы числового ряда имеют конечное число слагаемых, это «обычные» суммы, их можно найти, подсчитать. Для числового ряда получаем бесконечную последовательность его частичных сумм.

Если значения частичных сумм при неограниченном возрастании n, то есть, при стремятся к некоторому числу S, то есть имеет предел

                                          (8)

то числовой ряд называется сходящимся.

Это число S называется суммой числового ряда. В этом смысле можно записать такое равенство:

                       (9)

Пример сходящегося числового ряда:

Не для всякого числового ряда последовательность его частичных сумм стремится к определённому пределу. Например, для ряда

частичные суммы принимают попеременно значения 1 и 0:

Если предел последовательность частичных сумм ряда не существует, то числовой ряд называется расходящимся. Расходящийся ряд суммы не имеет.

Пример 5. Определить частичную сумму числового ряда

,

разложив общий член ряда на элементарные дроби с помощью метода неопределённых коэффициентов, и найти сумму ряда.

Решение. Разложим общий члена ряда на элементарные дроби:

Так как дроби равны и знаменатели равны, числители также должны быть равны:

Это равенство в силе для всех n:

Таким образом,

.

Частичная сумма ряда:

Сумма ряда:

.

Пример 6. Исследовать сходимость числового ряда (2) .

Решение. Составим частичные суммы ряда:

Представим их в виде

Нетрудно заметить закономерность в образовании частичных сумм: каждая представляет разность между единицей и дробью, числитель которой 1, а знаменатель n-й частичной суммы равен n + 1, т.е.

Найдём предел последовательности частичных сумм:

Следовательно, числовой ряд (2) сходится, его последовательность равна 1.

Исследуем сходимость числового ряда (3):

который называется геометрическим, так как его члены представляют собой члены геометрической прогрессии, первый член которой равен a, а знаменатель q.

Рассмотрим частичную сумму этого ряда:

Она равна сумме членов геометрической прогрессии, если

те есть

Найдём предел последовательности частичных сумм геометрического ряда. Следует различать четыре возможности:

1)

2)   

3)

4)

1. Если то , поэтому

2. Если то не существует, значит и последовательность частичных сумм не имеет предела.

3. Если q =1, то получается ряд a + a + a +…+ … . Его n-я частичная сумма

при

в зависимости от знака a.

4. Если q = – 1, то получается ряд

Его частичные суммы попеременно равны a и 0:

и т.д. Но такая последовательность не имеет предела.

Мы выяснили, что геометрический ряд (3) сходится, если знаменатель меньше единицы:

причём его сумма равна

,

и расходится, если равен или больше единицы:

Пример 7. Исследовать сходимость числовых рядов:

                     (*)

             (**)

              (***)   

 
             (****)

Решение. Это геометрические ряды. Для ряда (*)

для ряда (**)

для ряда (***) q = 4/3; для ряда (****) q = – 1. Следовательно, первые два ряда сходятся, а последние два расходятся.

Пример 8. Опредедить, сходится ли числовой ряд

.

В случае положительного ответа найти его сумму.

Решение. Данный ряд является геометрическим рядом с первым членом и . Так как , ряд сходится. Сумму ряда найдём по формуле суммы геометрического ряда .

Таким образом,

.

Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Пусть дан ряд с общим членом . Тогда ряд с общим членом , то есть ряд

         (11)

называют произведением ряда (1) на число c. Сходимость ряда (1) гарантирует сходимость и его произведения на число c. Это устанавливается следующей теоремой.

Теорема 1. Если ряд (1) сходится и имеет сумму, равную S, то его произведение на число c также сходится и имеет сумму, равную S:

                               (12)

Следовательно, общий множитель членов сходящихся рядов можно выносить за скобки, имея при этом в виду выполнение равенства (12).

Пусть даны два ряда с общими членами и :

     (13)

       (14)

Тогда ряд с общим членом

называют суммой этих рядов:

         (15)

Теорема 2. Сумма двух сходящихся рядов есть сходящийся ряд, причём его сумма равна

S ' + S '',

где S ' и S ''- суммы слагаемых рядов:

             (16)

Это означает, что сходящиеся ряды можно почленно складывать, а с учётом теоремы 1 и вычитать, имея при этом в виду для суммы рядов выполнение равенства (16), а для разности рядов – равенства

Определение. Разность суммы S и частичной суммы Sn сходящегося числового ряда разывается остатком ряда и обозначается Rn:

.

Для сходящегося ряда

,

то есть предел остатка сходящегося ряда при равен нулю.

Теорема 3. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток, и, наоборот, если сходится какой-либо остаток ряда, то и сам ряд также сходится.

Это означает, что на сходимость ряда не влияет любое конечное число его первых членов. В ряде можно отбрасывать или прибавлять к нему любое конечное число членов. От этого сходимость (или расходимость) ряда не нарушается, но меняется его сумма.

Если сходимость ряда установлена на основании определения сходимости, то одновременно будет найдена и его сумма. Так мы поступили при исследовании сходимости рядов (2) и (3).

Однако таким способом решить вопрос о сходимости ряда часто бывает весьма трудно.

Поэтому используют другой способ, который даёт возможность лишь установить факт сходимости (расходимости) ряда, так как сумму сходящегося ряда можно всегда найти с любой степенью точности, подсчитав сумму достаточно большого числа его первых членов.

Пример 10. Найти сумму числового ряда

.

Решение. Из теорем 1 и 2 о свойствах сходящихся рядов следует:

если ряды и сходятся и и , то для любых действительных чисел α и β ряд также сходится и .

Поэтому

Приступим к признакам сходимости рядов.

Теорема. Если ряд сходится, то предел его общего члена при

равен нулю:

                        (17)

Следствие. Если предел общего члена ряда при

не равен нулю, то ряд расходится.

Пример 11. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость числового ряда

Решение. Общий член ряда

Найдём его предел при

:

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 12. Используя необходимый признак сходимости, исследовать сходимость числового ряда

Решение. Найдём предел общего члена ряда при

:

Так как (предел общего члена не равен нулю), данный ряд расходится.

Пример 15. Записать первые пять членов числового ряда

и установить, сходится ли этот ряд.

Решение. Пять первых членов данного числового ряда:

Найдём предел общего члена ряда при

,

применяя дважды правило Лопиталя:

Так как (предел общего члена равен нулю), данный ряд сходится.

Мы выяснили, что если числовой ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю, а значит, выполняется условие (17).

Однако выполнение условия (17) не гарантирует сходимости числового ряда, оно не является достаточным для этого. Есть расходящиеся ряды, пределы общих членов которых при

равны нулю.

Примером такого ряда служит ряд (4):

который называется гармоническим. Последовательность его частичных сумм

монотонно возрастает, поскольку члены ряда положительны. Покажем, что она возрастает неограниченно. Для этого члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы:

В первую включим два члена (3-й и 4-й), во вторую

члена (с 5-го по 8-й), в третью

членов (с 9-го по 16-й) и т.д, каждый раз увеличивая вдвое число членов в группе. Таких групп, очевидно, бесконечное множество. Если заменить члены ряда в каждой группе их последними членами, то сумма членов этой группы уменьшится и тогда справедливы неравенства

Сумма членов каждой группы больше 1/2, а сумма членов, включённых в достаточно большое число групп, как угодно велика. Следовательно, последовательность частичных сумм гармонического ряда неограниченно возрастает, а ряд расходится, хотя его общий член

при

стремится к нулю.

Заметим, что частичные суммы гармонического ряда возрастают хотя и ограниченно, но медленно.

Исследование сходимости ряда обычно начинают с проверки выполнения условия (17), чтобы сразу выделить расходящиеся ряды, для которых это условие не выполняется.

Однако выполнение этого условия говорит лишь о том, что ряд может сходиться.

Сходится он или расходится, должно показать дополнительное исследование с помощью достаточных признаков, рассмотрение которых дано в последующих урока раздела “Ряды”.
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!

Всё по теме “Ряды”

Источник: https://function-x.ru/rows1.html

Определение и свойства сходящихся рядов

Числовые ряды и их суммы. Свойства числовых рядов

  1. Сходящийся числовой ряд и его сумма.

    Начать изучение

  2. Необходимое условие сходимости ряда.

    Начать изучение

  3. Свойства сходящихся рядов.

    Начать изучение

  4. Критерий Коши сходимости ряда.

    Начать изучение

  5. Ряды с комплексными членами.

    Начать изучение

Выражение \(a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{n} + \ldots\), где \(\{a_{n}\}\) — заданная числовая последовательность, будем называть числовым рядом и обозначать символом \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\), а числа \(a_{n}\) будем называть членами ряда. Сумму \(n\) первых членов ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\) будем называть \(n\)-й частичной суммой этого ряда и обозначать \(S_{n}\), то есть$$S_{n} = \sum_{k=1}{n}a_{k}.\label{ref1}

$$

Определение.

Ряд$$\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\label{ref2}$$

называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм \(\{S_{n}\}\) имеет конечный предел \(S\), то есть

$$\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = S.\label{ref3}$$

Число \(S\), определяемое условиями \eqref{ref1} и \eqref{ref3}, называют суммой ряда \eqref{ref2} и пишут

$$\sum_{n=1}{\infty}a_{n} = S.\label{ref4}

$$

Если последовательность \(\{S_{n}\}\) не имеет конечного предела (предел не существует или бесконечен), то говорят, что ряд \eqref{ref2} расходится (является расходящимся).

Пример 1.

Доказать, что ряд$$\sum_{n=1}{\infty}q{n-1},\ \mbox{где}\ |q| < 1,\label{ref5}$$

сходится, и найти его сумму \(S\).

Решение.

\(\vartriangle\) Используя формулу для суммы \(n\) первых членов геометрической прогрессии, получаем$$S_{n} = \sum_{k=1}{n}q{k-1} = \frac{1-q{n}}{1-q} = \frac{1}{1-q}-\frac{q{n}}{1-q}.

onumber$$

Так как \(q{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), если \(|q| < 1\) то последовательность \(\{S_{n}\}\) имеет конечный предел, равный \(\displaystyle\frac{1}{1-q}\), то есть ряд \eqref{ref5} сходится и его сумма \(S = \displaystyle\frac{1}{1-q}\). \(\blacktriangle\)

Пример 2.

Доказать, что если при всех \(n \in N\) выполняется равенство$$a_{n} = b_{n}-b_{n + 1}\label{ref6}$$и существует конечный$$\lim_{n \rightarrow \infty}b_{n} = b,\label{ref7}$$то ряд \eqref{ref2} сходится, а его сумма \(S = b_{1}-b\), то есть$$\sum_{n=1}{\infty}(b_{n}-b_{n + 1}) = b_{1}-b.\label{ref8}

$$

Решение.

\(\vartriangle\) Используя условие \eqref{ref6}, получаем \(S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}{n}a_{k} = \sum_{k=1}{n}(b_{n}-b_{n + 1}) = b_{1}-b_{2} + b_{2}-b_{3} + \ldots + b_{n-1}-b_{n} + b_{n}-b_{n + 1} = b_{1}-b_{n + 1}\) откуда в силу \eqref{ref7} следует сходимость ряда \eqref{ref2} и равенство \eqref{ref8}. \(\blacktriangle\)

Пример 3.

Найти сумму ряда \eqref{ref2}, если \(a_{n} = \displaystyle\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}\).

Решение.

\(\vartriangle\) Так как$$a_{n} = \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{(n + 2)-n}{2n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{2n(n + 1)}-\frac{1}{2n(n + 1)(n + 2)},onumber$$то последовательность \(\{a_{n}\}\) удовлетворяет условиям \eqref{ref6} и \eqref{ref7}, где \(b_{n} = \displaystyle\frac{1}{2n(n + 1)},\ b = 0\), и по формуле \eqref{ref8} получаем$$\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} = \frac{1}{4}.\ \blacktriangleonumber

$$

Необходимое условие сходимости ряда

Теорема 1.

Если ряд \eqref{ref2} сходится, то$$\lim_{n \rightarrow \infty}a_{n} = 0.\label{ref9}

$$

Доказательство.

\(\circ\) Так как ряд \eqref{ref2} сходится, то существует конечный предел \(S\) последовательности \(\{S_{n}\}\), где \(S_{n}\) — \(n\)-я частичная сумма ряда (формула \eqref{ref1}).

Тогда \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n} = S\) и \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}S_{n-1} = S\), откуда следует, что \(S_{n}-S_{n-1} = a_{n} \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\). \(\bullet\)

Таким образом, соотношение \eqref{ref9} выражает необходимое условие сходимости ряда.

Пример 4.

Доказать, что ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) расходится.

Решение.

\(\vartriangle\) Так как \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \frac{1}{\sqrt{n}}\) при \(k = 1, 2, \ldots, n\), то \(S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1}{n}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq n \frac{1}{\sqrt{n}}\) откуда следует, что \(S_{n} \rightarrow +\infty\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\) расходится. \(\blacktriangle\)

Замечание 1.

Условие \eqref{ref9} не является достаточным для сходимости ряда \eqref{ref2}: ряд, рассмотренный в примере 4, удовлетворяет условию \eqref{ref9}, но расходится.

https://www.youtube.com/watch?v=anBy2bQqnj0\u0026list=PLGtfmJuN1mTDzuk_Hbp9L_L1aMYgXbquD

Пример 5.

Доказать, что ряд$$\sum_{n=1}{\infty}\sin n\alpha,\ \mbox{где}\ \alpha eq \pi m\ (m \in \mathbb{Z}),\label{ref10}$$

расходится.

Решение.

\(\vartriangle\) Докажем, что$$\sin n\alpha
ightarrow 0\ \mbox{при}\ n \rightarrow \infty,\label{ref11}

$$

Предположим, что \(\sin n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\).

Тогда \(\sin (n + 1)\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), то есть \(\sin n\alpha \cos \alpha + \cos n\alpha \sin \alpha \rightarrow 0\), откуда следует, что \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), так как \(\sin \alpha eq 0\). Итак, если \(\sin n\alpha \rightarrow 0\), то \(\cos n\alpha \rightarrow 0\) при \(n \rightarrow \infty\), что невозможно, так как \(\sin{2} n\alpha + \cos{2} n\alpha = 1\).

Таким образом, для ряда \eqref{ref10} должно выполняться условие \eqref{ref11}, и поэтому ряд \eqref{ref10} расходится. \(\blacktriangle\)

Свойства сходящихся рядов

Свойство 1.

Если ряды \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\) и$$\sum_{n=1}{\infty}b_{n},\label{ref12}$$сходятся, а их суммы равны соответственно \(S\) и \(\sigma\), то при любых \(\lambda, \mu \in \mathbb{R}\) сходится ряд$$\sum_{n=1}{\infty}(\lambda a_{n} + \mu b_{n}),\label{ref13}$$а его сумма равна$$\tau = \lambda S + \mu\sigma.\label{ref14}

$$

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(S_{n}\), \(\sigma_{n}\) и \(\tau_{n}\) — \(n\)-е частичные суммы рядов \eqref{ref2}, \eqref{ref12} и \eqref{ref13} соответственно. Тогда \(\tau_{n} = \lambda S_{n} + \mu\sigma_{n}\).

Так как \(S_{n} \rightarrow S\) и \(\sigma_{n} \rightarrow \sigma\) при \(n \rightarrow \infty\), то последовательность \(\{\tau_{n}\}\) имеет конечный предел, то есть ряд \eqref{ref13} сходится, и справедливо равенство \eqref{ref14}. \(\bullet\)

Свойство 2.

Если сходится ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\), то при каждом \(m \in \mathbb{N}\) сходится ряд$$\sum_{n=m+1}{\infty}a_{n},\label{ref15}$$

который называют \(m\)-м остатком ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\). Обратно: если при фиксированном \(m\) ряд \eqref{ref15} сходится, то и ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\) также сходится.

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(S_{n} = a_{1} + \ldots + a_{n}\) и \(\sigma_{k}{(m)} = a_{m+1} + \ldots + a_{m+k}\)-соответственно \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref2} и \(k\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref15}. Тогда$$S_{n} = S_{m} + \sigma_{k}{(m)},\ \mbox{где}\ n = m + k.

\label{ref16}$$

Если ряд \eqref{ref2} сходится, то последовательность \(\{S_{n}\}\) имеет конечный предел при \(n \rightarrow \infty\), и поэтому из равенства \eqref{ref16} следует, что последовательность \(\{\sigma_{k}{(m)}\}\), где \(m\) фиксировано, имеет конечный предел при \(k \rightarrow \infty\), то есть ряд \eqref{ref15} сходится.

Обратно: если \(m\) фиксировано и существует конечный \(\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty}\sigma_{k}{(m)}\) то существует конечный \(\displaystyle\lim_{k \rightarrow \infty}S_{n}\). \(\bullet\)

Замечание 2.

Согласно свойству 2 отбрасывание конечного числа членов ряда или добавление конечного числа членов к данному ряду не влияет на его сходимость.

Свойство 3.

Если ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\) сходится, то и ряд$$\sum_{j=1}{\infty}b_{j},\label{ref17}$$

полученный группировкой членов ряда \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\) без изменения порядка их расположения, также сходится и имеет ту же сумму, что и ряд \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}a_{n}\).

Доказательство.

\(\circ\) Пусть \(b_{1} = a_{1} + a_{2} + \ldots + a_{k_{1}}\), \(b_{2} = \displaystyle a_{k_{1} + 1} + a_{k_{1} + 2} + \ldots + a_{k_{2}}\), …, \(b_{j} = a_{k_{j}-1} + \ldots + a_{k_{j}}\) где \(j \in \mathbb{N}\), \(\{k_{j}\}\) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел.

Обозначим \(S_{n} = \displaystyle\sum_{k=1 }{n}a_{k}\), \(\sigma_{m} = \displaystyle\sum_{j=1}{\infty}b_{j}\); тогда \(\sigma_{m} = S_{k_{m}}\).

Так как \(\{\sigma_{m}\}\) — подпоследовательность сходящейся последовательности \(S_{1}, S_{2}, \ldots\), то существует \(\displaystyle\lim_{m \rightarrow \infty}\sigma_{m} = S\), где \(S\) — сумма ряда \eqref{ref2}. \(\bullet\)

Критерий Коши сходимости ряда

Теорема 2.

Для сходимости ряда \eqref{ref2} необходимо и достаточно, чтобы$$\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}: \forall n \geq N_{\varepsilon}, \forall p \in \mathbb{N} \rightarrow |a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{n + p}| < \varepsilon.\label{ref18}

$$

Доказательство.

\(\circ\) Так как \(a_{n + 1} + a_{n + 2} + \ldots + a_{n + p} = S_{n + p}-S_{n}\)    где \(S_{n}\) — \(n\)-я частичная сумма ряда \eqref{ref2}, то условие \eqref{ref18} означает, что последовательность \(\{S_{n}\}\) является фундаментальной. В силу критерия Коши для последовательности условие \eqref{ref18} равносильно существованию конечного предела последовательности \(\{S_{n}\}\), то есть равносильно сходимости ряда \eqref{ref2}. \(\bullet\)

Замечание 3.

Если условие \eqref{ref18} не выполняется, то есть$$\exists \varepsilon_{0} > 0: \forall k \in \mathbb{N},\ \exists n \geq k\ \exists p \in \mathbb{N}:\ |a_{n + 1}  + \ldots + a_{n + p}| \geq \varepsilon_{0}.\label{ref19}$$

то ряд \eqref{ref2} расходится.

https://www.youtube.com/watch?v=anBy2bQqnj0\u0026list=PLGtfmJuN1mTDzuk_Hbp9L_L1aMYgXbquD

Пример 6.

Доказать, что гармонический ряд$$\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n},\label{ref20}$$

расходится.

Решение.

\(\vartriangle\) Для любого \(k \in \mathbb{N}\) возьмем \(n = k\), \(p = k\). Тогда \(\displaystyle\sum_{k=n+1}{n+p}a_{k} = \frac{1}{k + 1} + \ldots + \frac{1}{2k} > \frac{1}{2k}k = \frac{1}{2} = \varepsilon_{0}\), и в силу условия \eqref{ref19} ряд \eqref{ref20} расходится. \(\blacktriangle\)

Ряды с комплексными членами

Последовательность комплексных чисел \(\{z_{n}\}\) называют сходящейся, если существует такое комплексное число \(z\), что$$\lim_{n \rightarrow \infty}|z_{n}-z| = 0,onumber$$

где \(|z|\) — модуль комплексного числа \(z\). В этом случае пишут \(\displaystyle\lim_{n \rightarrow \infty}z_{n} = z\) или \(z_{n} \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\).

Если \(z_{n} = x_{n} + iy_{n}\), \(z = x + iy\), то условие \(z_{n} \rightarrow z\) при \(n \rightarrow \infty\) эквивалентно выполнению условий \(x_{n} \rightarrow x\) и \(y_{n} \rightarrow y\) при \(n \rightarrow \infty\).

Ряд с комплексными членами$$\sum_{n=1}{\infty}z_{n},\label{ref21}$$

называют сходящимся, если существует

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1 }{n}z_{k} = S,onumber$$

где \(S \in \mathbb{C}\). В этом случае пишут \(\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}z_{n} = S\), а комплексное число \(S\) называют суммой ряда \eqref{ref21}.

Источник: https://univerlib.com/mathematical_analysis/numerical_rows/convergent_series_def/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.